중국 고대 수학의 발전, 구장산술 (수학, 시간을 걷다 #10)

고대 중국 수학의 정수, 『구장산술』

중국은 고대부터 수학적 사고가 발달한 문명 중 하나였으며, 그 정점에 있는 저서가 바로 『구장산술(九章算術)』입니다. 이 책은 한(漢)나라 시대에 편찬된 수학서로, 중국 수학의 체계를 확립하는 데 중요한 역할을 했습니다. 『구장산술』은 기하학, 대수학, 측량, 방정식, 세금 계산 등 다양한 분야를 포괄하며, 이후 동아시아 수학의 발전에 지대한 영향을 미쳤습니다.

 

이 책은 단순한 이론적 연구가 아니라, 실생활의 다양한 문제 해결을 목적으로 한 실용적 수학서입니다. 『구장산술』은 농업과 세금 계산, 토지 측량, 건축, 상업 등에서 필요한 수학적 지식을 체계적으로 정리한 것이 특징입니다. 또한, 이후 동아시아 수학의 기초가 되어 한국과 일본에도 큰 영향을 미쳤습니다.

 

이번 글에서는 『구장산술』의 역사적 배경, 주요 내용, 그리고 현대 수학에 미친 영향을 깊이 있게 탐구해보겠습니다.

 

『구장산술』의 역사적 배경

『구장산술』은 한나라 시대(기원전 206년~기원후 220년) 이전부터 축적된 중국의 수학적 지식을 집대성한 책으로, 여러 세기에 걸쳐 정리되었습니다. 이 책의 원본은 저자가 명확하지 않으나, 후한(後漢) 시대의 수학자 장창(張蒼)과 경방(耿壽昌)이 편집한 것으로 알려져 있습니다. 이후 삼국시대(3세기) 수학자 유휘(劉徽)가 주석을 달면서 더욱 체계적인 수학서로 발전했습니다.

유휘

 

이 책은 서양의 유클리드 『기하학 원론』과 비교되기도 하며, 실용적인 문제 해결을 중심으로 구성되어 있다는 점에서 독특한 특징을 지닙니다. 『구장산술』은 실생활에서 활용할 수 있는 계산법과 문제 해결 방법을 중심으로 하고 있으며, 특히 농업, 건축, 상업, 측량 등 다양한 분야에서 활용되었습니다. 이는 당시 중국 사회가 수학을 실용적인 학문으로 접근했음을 보여주며, 오늘날의 응용 수학과 유사한 측면을 가지고 있습니다.

 

이 책의 내용은 단순한 숫자 계산에 그치는 것이 아니라, 당시 행정 관리, 공학적 측정, 상업 활동 등 실생활에 적용할 수 있는 내용으로 구성되어 있어 당시 사회 전반에 걸쳐 큰 영향을 미쳤습니다. 『구장산술』은 단순한 계산법을 넘어 체계적인 문제 해결 능력을 강조하였으며, 이는 현대 수학의 접근법과도 밀접하게 연결됩니다.

 

구장산술의 9가지 장(章)

1. 방전(方田) - 토지 측량법

토지의 면적을 계산하는 방법을 상세하게 다룹니다. 직사각형, 삼각형, 사다리꼴, 원 등 다양한 도형의 넓이를 구하는 공식이 소개되어 있습니다. 특히 주목할 만한 점은 부정형 토지의 면적을 계산하기 위해 이를 기본 도형들로 분할하여 계산하는 방법을 제시했다는 것입니다. 예를 들어, "너비가 15보이고 길이가 16보인 밭의 면적은 얼마인가?"와 같은 실제적인 문제들을 다루며, 당시 농업 사회에서 필수적이었던 토지 측량과 관리에 대한 수학적 해법을 제공했습니다.

2. 수미(粟米) - 곡물 환산법

곡물의 교환 비율과 거래 계산법을 자세히 다룹니다. 서로 다른 종류의 곡식을 교환할 때 필요한 수학적 계산법을 제시했는데, 현대의 비례식과 매우 유사한 개념을 사용했습니다. 예를 들어, 쌀, 보리, 콩 등 다양한 곡물 간의 교환 비율을 계산하고, 도량형의 환산, 세금 계산 등 실제 상거래에서 발생하는 다양한 문제들의 해법을 제시합니다. "조 3석이 쌀 2석과 같다면, 조 15석은 쌀 몇 석인가?"와 같은 실용적인 문제들을 포함하고 있습니다.

3. 술분(衰分) - 비례 배분법

여러 사람에게 물건이나 재산을 나누는 방법을 상세히 설명합니다. 단순한 균등 분배가 아닌, 각자의 조건과 상황에 따른 합리적인 분배 방법을 제시합니다. 예를 들어, 관직의 높낮이에 따른 봉급 분배, 투자 금액에 따른 이익 분배 등 실제 사회에서 발생하는 복잡한 분배 문제들을 다룹니다. "세 관리의 봉급을 4:3:2의 비율로 나누어야 할 때, 총액이 90냥이라면 각각 얼마를 받아야 하는가?"와 같은 문제들을 해결하는 방법을 제시합니다.

4. 소광(少廣) - 제곱근과 면적

정사각형의 한 변의 길이를 구하는 방법, 즉 제곱근을 구하는 방법을 자세히 설명합니다. 이는 현대 수학의 근의 공식과 연결되는 중요한 개념입니다. 특히 주목할 만한 점은 점진적 근사법을 사용하여 제곱근을 구하는 방법을 제시했다는 것입니다. 또한 직사각형의 넓이가 주어졌을 때 변의 길이를 구하는 문제나, 정사각형 모양의 땅을 만들기 위해 필요한 길이를 계산하는 등 실용적인 문제들을 다룹니다.

5. 상공(商功) - 토목 공사법

토목 공사에 필요한 다양한 계산법을 포함합니다. 제방, 도랑, 둑, 성벽 등을 만들 때 필요한 흙의 양을 계산하는 방법을 상세히 설명하는데, 여러 가지 입체도형의 부피를 구하는 공식들이 포함되어 있습니다. 특히 원기둥, 원뿔, 각뿔 등 다양한 입체도형의 부피 계산법을 제시하며, "길이 30보, 아래쪽 너비 2보, 위쪽 너비 1보인 도랑을 파려면 얼마만큼의 흙을 파내야 하는가?"와 같은 실제적인 문제들을 다룹니다.

6. 균수(均輸) - 공평한 운송법

물건을 운반할 때 거리와 무게에 따른 운임을 계산하는 방법을 상세히 다룹니다. 단순한 운송비 계산을 넘어서, 계절과 지형에 따른 운송의 난이도, 운송 수단의 차이 등을 고려한 복잡한 계산법을 포함합니다. "100리 거리에 쌀 1석을 운반하는 데 비용이 2전이라면, 150리 거리에 쌀 3석을 운반하는 데는 얼마가 필요한가?"와 같은 실제적인 문제들을 해결하는 방법을 제시합니다.

7. 영부족(盈不足) - 연립방정식

남고 모자람을 이용해 미지수를 구하는 방법을 자세히 설명합니다. 이는 현대 수학의 연립방정식과 같은 개념으로, 매우 발전된 수학적 사고를 보여줍니다. 특히 두 가지 다른 조건에서 발생하는 과부족을 이용해 미지수를 구하는 방법을 제시하는데, "어떤 물건을 한 사람당 7개씩 나누면 4개가 남고, 8개씩 나누면 7개가 모자랄 때, 사람 수와 물건의 수는 각각 얼마인가?"와 같은 문제들을 포함합니다.

8. 방정(方程) - 연립일차방정식

여러 개의 미지수를 포함한 방정식을 푸는 방법을 상세히 다룹니다. 현대의 행렬식과 유사한 방법을 사용하여 문제를 해결하는데, 특히 주목할 만한 점은 연립방정식의 해법을 체계적으로 정리했다는 것입니다. "쌀, 기장, 콩의 가격이 각각 다르고, 세 가지를 섞어 세 번 다르게 구매했을 때의 총액이 주어졌을 때, 각각의 가격을 구하는" 등의 복잡한 문제들을 해결하는 방법을 제시합니다.

9. 구고(句股) - 직각삼각형

직각삼각형의 세 변의 관계를 심도 있게 다룹니다. 피타고라스의 정리와 동일한 개념을 이미 알고 있었다는 점이 매우 중요한데, 이를 '구고정리'라고 부릅니다. 단순히 정리를 제시하는 것에 그치지 않고, 직각삼각형과 관련된 다양한 실용적인 문제들을 해결하는 방법을 포함합니다. "높이를 알 수 없는 벽 앞에 막대기를 세웠을 때, 그림자의 길이와 막대기의 길이를 알면 벽의 높이를 구할 수 있다"와 같은 실제적인 응용 문제들을 다룹니다.

 

구장산술이 현대 수학에 미친 영향

구장산술은 자연수의 사칙연산 체계를 확립하여 현대 초등 수학교육의 기초를 마련했으며, '방전' 장에서 다룬 도형의 넓이 계산법은 현대 기하학의 기본 공식 발전에 크게 기여했습니다. 특히 '수미' 장에서 다룬 비례식은 현대 수학의 비례식과 비례배분 문제의 기초가 되었고, '술분' 장의 분배 방식은 현대 경제학의 이익 분배 및 투자 수익 계산의 기본 원리로 발전했습니다.

 

'소광' 장에서 소개된 제곱근을 구하는 방법은 현대의 수치해석학 발전에 영향을 주었으며, '상공' 장의 입체도형 부피 계산법은 현대 건축과 토목 공학의 기초 계산법으로 이어졌습니다. '균수' 장의 운송 비용 계산법은 현대 물류 관리 시스템의 기본 원리로 발전했고, '영부족' 장의 연립방정식 해법은 현대 대수학 발전의 토대가 되었습니다. 더불어 '방정' 장의 행렬식과 유사한 계산법은 현대 선형대수학의 초기 형태를 보여주며, '구고' 장의 직각삼각형 관계식은 삼각함수와 기하학 발전에 큰 영향을 미쳤습니다.

 

구장산술의 문제 해결 방식은 현대 수학의 '실생활 문제 적용' 교육방법론에 영향을 주었고, 분수의 사칙연산을 체계적으로 정리한 것은 현대 유리수 체계 이해의 기초가 되었습니다. 특히 구장산술의 '단위 환산법'은 현대 수학의 단위 변환 시스템 발전에 기여했으며, 문제 해결 과정의 단계별 기술은 현대 수학의 증명 방식에 영향을 주었습니다.

 

실용적 문제 중심의 접근 방식은 현대 수학교육의 '실용수학' 커리큘럼 개발에 영향을 미쳤고, 체계적인 문제 분류 방식은 현대 수학 교재의 구성 방식에도 큰 영향을 주었습니다. 더불어 '비례 배분법'의 개념은 현대 통계학의 비율과 분포 이해에 기초가 되었으며, 구장산술의 계산 방법은 동아시아 전역의 수학 발전에 영향을 미쳐 현대 수학의 글로벌화에 기여했습니다. 마지막으로, 실생활 문제를 수학적으로 해석하는 방식과 기하학적 증명 방식은 현대 수학의 응용 분야와 논리적 증명 체계 발전에 지대한 영향을 미쳤습니다.